ベルヌーイの定理とは？流体力学の基本をやさしく解説

はじめに

「流速が上がると圧力が下がる」——この言葉を聞いたことがある方は多いと思います。これはベルヌーイの定理を一言で表したものです。

ベルヌーイの定理は、流体力学において最も基本的かつ応用範囲の広い法則のひとつで、飛行機の翼が浮かぶ仕組み、流量計の原理、配管の圧力設計など、幅広い工学分野の根底を支えています。このページでは定理の意味・導き方・応用例・圧損計算との関係まで、丁寧に解説します。

ベルヌーイの定理の式

流体が非粘性（摩擦なし）・定常・非圧縮の条件を満たす場合、流線上の任意の2点間で次の式が成り立ちます。

\(P + \frac{1}{2} \rho v^2 + \rho g h = \text{一定} \)

• P：流体の圧力（Pa）
• \(\rho\)：流体の密度（kg/m³）
• v：流体の流速（m/s）
• g：重力加速度（9.81 m/s²）
• h：基準面からの高さ（m）

2点間（点1・点2）で書くと次のようになります。$$P_1 + \frac{1}{2}\rho v_1^2 + \rho g h_1 = P_2 + \frac{1}{2}\rho v_2^2 + \rho g h_2$$

各項の物理的な意味

これら3つの合計が一定に保たれるということは、「流速が上がって動圧が増えると、その分だけ他が下がる」というトレードオフの関係になります。

エネルギー保存則としての理解

ベルヌーイの定理は、流体の単位体積あたりのエネルギー保存則です。流体が摩擦なしで流れるとき、流れる経路に沿ってエネルギーが圧力・運動・位置の3つの形で入れ替わりながら、総量が保存されます。

逆に言えば、実際の流体では摩擦・渦・乱れによってエネルギーが失われるため、ベルヌーイの式の「一定」が成り立たなくなります。この失われた分が圧力損失（圧損）として現れます。

連続の式（流速と断面積の関係）

ベルヌーイの定理と合わせて必ず理解しておきたいのが連続の式です。非圧縮流体では、断面積と流速の積（体積流量）が一定になります。$$A_1 v_1 = A_2 v_2 = Q（一定）$$

• $A$：断面積 [m²]
• $v$：流速 [m/s]
• $Q$：体積流量 [m³/s]

この式が意味するのは「断面積が小さくなると流速は速くなり、断面積が大きくなると流速は遅くなる」ということです。

この連続の式とベルヌーイの定理を組み合わせることで、「断面積が変わる配管での圧力変化」が計算できます。例えば断面積が半分になると流速は2倍になり、動圧は4倍になるため、静圧はそれだけ低下します。

ベルヌーイの定理の応用例

水道の蛇口

ホースの先端を指で押さえて断面積を小さくすると、水の勢いが強くなります。これは連続の式から断面積が減ると流速が上がるためです。ベルヌーイの定理から、流速が上がった分だけ圧力が下がっています（大気開放なので実際には流速増加として現れます）。

また、蛇口を少しだけ開いた状態（流れが細い）と大きく開いた状態では、配管内での圧力分布が変わります。蛇口付近の配管が絞られると流速が上がり圧力が下がる——これがベルヌーイの定理の直接的な現れです。

ベンチュリ管・オリフィス流量計

ベンチュリ管は配管の途中を絞ることで流速を上げ、その前後の圧力差から流量を計測する装置です。

オリフィスもこれと同じ原理で動作します。「絞り→流速増加→圧力低下→差圧計測→流量を逆算」というプロセスの根拠がベルヌーイの定理です。

→ オリフィス圧損計算ツール｜流量・流速から自動でΔPを算出

飛行機の翼（揚力）

翼型断面は上面が膨らんだ形状をしており、翼の上面を通る空気は下面より長い経路を通るため速くなります。ベルヌーイの定理から上面の圧力が低下し、この上下の圧力差が翼を押し上げる揚力として現れます。

ただし、翼の揚力は単純なベルヌーイ効果だけでなく、迎角による流れの偏向（ニュートンの第3法則的な効果）も重要です。実際の翼の設計ではより複雑な理論（クッタ・ジューコフスキーの定理など）が使われます。

→ 揚力と抗力とは？基本原理から圧損との関係までわかりやすく解説

ベルヌーイの定理が成り立つ条件

ベルヌーイの定理は理想化された条件のもとで成立します。実際の設計・計算では以下の点に注意が必要です。

実際の工学計算では、ベルヌーイの定理に圧損項を追加した拡張ベルヌーイの式（エネルギー式とも呼ばれる）が使われます。$$P_1 + \frac{1}{2}\rho v_1^2 + \rho g h_1 = P_2 + \frac{1}{2}\rho v_2^2 + \rho g h_2 + \Delta P_{loss}$$

$\Delta P_{loss}$が圧力損失の合計です。

圧損計算との関係

ベルヌーイの定理は「エネルギーが保存される理想的な流れ」を扱いますが、現実の配管では必ず圧力損失が生じます。この圧損がどこから来るかを理解するうえで、ベルヌーイの定理は出発点になります。

• 直管の摩擦損失: 粘性によって流体の運動エネルギーが熱に変換される。ベルヌーイの式の「一定」が破れる量がΔP
• 局所損失（急拡大・曲管など）: 流れが剥離して渦が生じ、エネルギーが散逸する。この散逸量が動圧×損失係数Kとして表される（$\Delta P = K \cdot \frac{1}{2}\rho v^2$）

静圧・動圧・全圧の概念と圧損の関係については、以下の記事で詳しく解説しています。

→ 静圧・動圧・全圧とは？圧損計算との関係をわかりやすく解説

まとめ

ベルヌーイの定理をひとことで表すと「流速・圧力・高さの3つのエネルギーの合計は一定」です。

この基本を押さえると、ベンチュリ管・ピトー管・揚力・圧損計算など、流体工学のあらゆる計算の「なぜ」がつながってきます。

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